1. 선택 순서와 풀이 순서

기업은 1, 2, 3의 순서로 생산량을 정한다. 먼저 정한 수량을 후발기업이 관찰하므로 풀이에서는 마지막 기업부터 거슬러 올라간다.

모든 기업은 동일한 상수 한계비용을 가지며 고정비용과 생산능력 제약은 없다. 생산량은 0 이상이다. 앞선 선택은 이후 단계에서 유지된다.

완전경쟁산출량은 110−Q=20에서 90이다. 이 90을 기준으로 순차게임의 수량을 계산한다.

2. 마지막 기업의 최적반응

기업 3은 이미 정해진 q₁과 q₂를 고정하고 자신의 수량만 선택한다. 이윤을 q₃으로 미분하면 두 번째 식을 얻는다.

앞선 두 기업의 생산량 합계가 90보다 작으면 남은 양의 절반을 생산한다. 합계가 90 이상이면 기업 3의 최적 생산량은 0이다.

q₁+q₂가 90 이하이면 max 안의 두 번째 항을 선택한다. 모든 부분게임을 다루려면 위와 같이 비음수 제약을 포함해야 한다.

3. 기업 2는 반응을 대입한다

기업 2는 자신의 수량이 바뀌면 기업 3도 반응한다는 점을 계산한다. 내부해에서 기업 3의 반응함수를 가격식에 넣으면 단위당 이윤이 첫 번째 식이 된다.

q₁이 90보다 작을 때 이윤을 q₂로 미분하면 (90−q₁−2q₂)/2=0이다. 따라서 기업 2는 남은 양의 절반을 선택한다.

q₁이 90 이상인 부분게임에서는 기업 2와 기업 3 모두 0을 선택한다. 아래의 선도기업 계산은 q₁이 90 이하인 구간에서 진행한다.

4. 선도기업의 선택을 구한다

기업 1은 뒤의 두 기업이 각각 남은 양의 절반을 차지할 것을 예상한다. 따라서 선도기업의 단위당 이윤은 (90−q₁)/4이다.

이윤은 506.25−(q₁−45)²/4이므로 q₁=45에서 최대이다. q₁이 90을 넘으면 가격이 한계비용보다 낮아져 손실이므로 더 나은 선택이 아니다.

q₁=45를 기업 2의 반응함수에 넣어 22.5를 얻고, 두 값을 기업 3의 반응함수에 넣어 11.25를 얻는다.

5. 수량을 더한 뒤 가격 계산

기업별 수량은 완전경쟁산출량 90의 1/2, 1/4, 1/8이다. 앞선 기업일수록 많은 수량을 먼저 확정한다.

세 기업의 수량을 합한 산업총산출량은 78.75이다. 시장가격은 총량을 역수요식에 대입해서 구한다.

세 기업은 같은 시장가격을 받는다. 기업별 수량이 다르다고 기업별 가격을 따로 구하면 안 된다.

6. 동시게임과 같은 조건으로 비교

세 기업이 동시에 수량을 선택하면 쿠르노 모형이다. 대칭 균형에서는 각 기업이 90을 기업 수보다 1 큰 값인 4로 나눈 수량을 생산한다.

동일한 수요·비용·기업 수에서 순차게임은 총량이 더 크고 가격이 더 낮다. 선도기업은 45를 생산하지만 마지막 기업은 11.25만 생산한다.

선도기업의 수량이 커지는 효과와 시장 전체의 총량 효과를 구분하자. 기업 2의 수량은 이 예에서 쿠르노 수량과 같다.

7. 기업 수가 늘 때 총량 비교

점은 정수인 기업 수에서의 균형이다. 연결선은 변화 방향을 읽기 위한 안내이다. 두 총량 모두 완전경쟁산출량 90으로 증가한다.

기업이 하나이면 두 모형의 총량은 독점수준 45로 같다. 둘 이상이면 이 조건의 순차게임 총량이 쿠르노 총량보다 크다.

그림에서 기업 수가 커질 때 접근하는 값은 90이다. 45는 기업이 하나일 때의 출발값이다.

8. 남은 양은 매번 절반이 된다

동일비용 기업들이 하나씩 순서대로 수량을 정하는 구조에서는, 매 단계에서 남은 양의 절반을 선택한다. 이를 더하면 위의 유한등비급수 공식이 된다.

뒤 순서의 기업일수록 생산량은 작아진다. 반면 기업 수를 늘려 더하면 산업총산출량은 90에 접근한다. 고정된 순서의 기존 기업 수량은 이 모형에서 변하지 않는다.

①의 반응함수에는 비음수 제약을 포함한다. ①~④는 옳고 ⑤는 틀리므로 정답은 ⑤이다. 순차기업 수가 늘 때 총량은 독점산출량 45가 아니라 경쟁산출량 90에 수렴한다.

1. 보수의 앞과 뒤를 나눈다

괄호 안의 첫 수는 경기자 1, 둘째 수는 경기자 2의 보수이다. 경기자 1은 행 U·D를, 경기자 2는 열 L·R을 선택한다.

경기자 1의 최적반응은 같은 열의 첫 수를 비교한다. 경기자 2의 최적반응은 같은 행의 둘째 수를 비교한다.

그림의 파란 수는 경기자 1의 최적반응, 청록 수는 경기자 2의 최적반응이다. 두 최적반응이 만나는 칸이 (D,R)이다.

2. 상대 선택마다 우월성을 확인

경기자 1은 상대가 L을 고르든 R을 고르든 D에서 보수가 1 더 크다. 따라서 D는 U를 엄격하게 우월한다.

경기자 2도 상대가 U를 고르든 D를 고르든 R에서 보수가 1 더 크다. 따라서 R은 L을 엄격하게 우월한다.

두 엄격우월전략이 만나는 (D,R)이 유일한 순수전략 내시균형이며 보수는 (2,2)이다. 어느 한쪽도 혼자 바꾸어 이익을 얻지 못한다.

3. 확률을 섞어도 보수 차이는 1

q는 경기자 2가 L을 선택할 확률, p는 경기자 1이 U를 선택할 확률이다. 상대의 선택이 불확실해도 기대보수를 비교할 수 있다.

어떤 확률에서도 D와 R의 기대보수가 각각 1 더 크다. 따라서 엄격하게 열등한 U와 L에 양의 확률을 줄 이유가 없다.

두 전략 사이의 무차별 조건이 성립하지 않으므로 완전혼합 내시균형은 없다. 순수전략을 포함한 전체 균형도 (D,R) 하나이다.

4. 순차게임은 뒤에서부터 고른다

경기자 1이 먼저 선택하면 경기자 2의 두 의사결정 지점이 생긴다. U를 관찰한 뒤에는 둘째 보수 4와 5를 비교해 R을 고른다.

D를 관찰한 뒤에도 둘째 보수 1과 2를 비교해 R을 고른다. 따라서 두 부분게임 모두에서 R이 최적이다.

경기자 1은 이 반응을 예상한다. U를 선택하면 자신의 보수가 1, D를 선택하면 2이므로 D를 고른다. 실제 경로는 굵은 선의 D 다음 R이다.

5. 전략은 모든 상황의 행동 계획

경기자 2의 전략 (R,R)은 “U 뒤 R, D 뒤 R”을 뜻한다. 실제로 도달하지 않는 U 뒤의 행동도 전략에 포함한다.

모든 부분게임의 최적행동을 확인했으므로 부분게임완전균형은 [D,(R,R)]이다. 실제로 실현되는 균형경로 (D,R)와 전체 조건부전략을 구분하자.

각 비교가 모두 엄격하므로 이 부분게임완전균형은 유일하다. 선도자의 이점을 외워 경로를 바꾸지 말고 후발자의 최적반응을 계산해야 한다.

6. 더 좋은 결과와 균형은 다르다

(U,L)에서는 두 경기자 모두 (D,R)보다 보수가 크다. 따라서 (U,L)은 (D,R)을 파레토 지배한다.

그러나 상대가 L일 때 경기자 1은 U에서 D로 바꾸어 보수를 4에서 5로 늘릴 수 있다. 상대가 U일 때 경기자 2도 L에서 R로 바꾸어 4에서 5를 얻는다.

서로에게 더 좋은 결과라도 개인에게 일탈 유인이 있으면 내시균형이 아니다. 이 게임은 공동의 이익과 각자의 유인이 충돌하는 구조이다.

7. 선도자 이점을 자동으로 붙이지 않는다

동시게임은 상대 선택별 최적반응이 만나는 곳을 찾고, 순차게임은 마지막 선택부터 역진귀납한다. 풀이 방법은 달라도 이 문항의 균형경로와 보수는 같다.

선택 순서가 생겼다는 사실만으로 선도자에게 유리한 결과가 보장되지는 않는다. 이 문항에서는 경기자 2가 어느 지점에서도 R을 선택한다.

①·②·④·⑤는 옳고 ③은 틀리므로 정답은 ③이다. (U,L)의 높은 보수를 순차게임의 균형경로로 바꾸어 읽는 것이 함정이다.

1. 동률인 최적반응도 표시한다

보수의 첫 수는 경기자 1, 둘째 수는 경기자 2의 보수이다. 경기자 1은 행 U·D, 경기자 2는 열 L·R을 선택한다.

경기자 1은 같은 열의 첫 수를 비교한다. L열에서는 3과 3이 같으므로 U와 D를 모두 최적반응으로 표시해야 한다.

파란 수는 경기자 1, 청록 수는 경기자 2의 최적반응이다. 두 표시가 함께 있는 칸은 (U,L)과 (D,R)이다.

2. 약우월과 엄격우월을 구분한다

상대가 L을 선택하면 D와 U의 보수가 같다. 상대가 R을 선택하면 D의 보수가 더 크다.

모든 상대 선택에서 나쁘지 않고 적어도 하나에서 더 좋으므로 D가 U를 약하게 우월한다. 그러나 L에서 동률이므로 엄격하게 우월하지는 않는다.

엄격우월은 모든 상대 선택에서 보수가 더 커야 한다. 한 곳의 동률을 놓치면 약우월을 엄격우월로 잘못 판단한다.

3. 순수균형은 두 곳이다

경기자 2는 U행에서 자신의 보수 4와 1을 비교해 L을, D행에서는 2와 3을 비교해 R을 선택한다.

(U,L)에서 경기자 1이 혼자 D로 바꾸면 보수는 여전히 3이다. 경기자 2가 혼자 R로 바꾸면 4에서 1로 줄어든다. 따라서 이익이 되는 일탈이 없다.

(D,R)에서도 어느 쪽도 혼자 바꾸어 이익을 얻지 못한다. 보수가 같아지는 일탈은 내시균형을 깨지 않으므로 두 조합 모두 균형이다.

4. U를 삭제한 뒤 다시 계산한다

U를 삭제하면 경기자 1에게 D만 남는다. 경기자 2는 남은 D행에서 자신의 보수 2와 3을 비교한다.

경기자 2는 R을 선택하므로 축소게임의 유일한 내시균형은 (D,R)이다.

삭제 전에 있었던 (U,L)은 U가 사라졌으므로 더 이상 표현할 수 없다. 따라서 원게임의 모든 균형이 보존된다는 주장은 틀리다.

5. 열등한 전략과 균형은 양립한다

내시균형은 상대의 선택을 고정했을 때 자기 전략이 최적반응이면 된다. 그 최적반응이 유일할 필요는 없다.

U는 R에 대해서는 D보다 나쁘지만, L에 대해서는 D와 나란히 최적이다. 따라서 약하게 열등한 U도 (U,L)의 구성 요소가 된다.

엄격하게 열등한 전략의 삭제와 약하게 열등한 전략의 삭제를 같은 규칙으로 취급하지 말자. 약우월에 따른 삭제는 원래의 균형을 없앨 수 있다.

6. 혼합확률로 동률 조건을 찾는다

p는 경기자 1이 U를, q는 경기자 2가 L을 선택할 확률이다. 순수전략도 확률 0 또는 1로 함께 표시한다.

q가 1보다 작으면 경기자 1은 D만 선택한다. U에 양의 확률을 주려면 두 보수가 같아야 하므로 q=1이어야 한다.

경기자 2는 p가 1/4보다 크면 L, 작으면 R을 선택한다. p=1/4에서는 L과 R이 동률이므로 L도 최적반응이다.

7. 전체 균형은 점과 선분이다

p=0이면 경기자 2는 R을 선택하므로 (p,q)=(0,0), 즉 (D,R)이 된다.

U를 섞는 경우에는 q=1이고, L이 최적이 되려면 p≥1/4이어야 한다. 따라서 q=1, 1/4≤p≤1의 선분 전체가 균형이다. 끝점 (1,1)은 (U,L)이다.

순수균형은 두 개지만, 혼합을 허용한 전체 균형은 무한히 많다. U를 삭제하면 이 선분이 사라지고 (0,0)만 남는다. 완전혼합균형은 없다.

8. 동률을 살리고 삭제 전후를 비교

먼저 상대 선택별로 자기 보수를 비교하고, 동률인 최적반응은 모두 표시한다. 그다음 두 사람의 최적반응이 만나는 칸을 찾는다.

약하게 열등하다는 사실만으로 어떤 균형에도 쓰이지 않는다고 결론 내리지 않는다. 전략을 삭제했다면 원게임의 균형과 축소게임의 균형을 따로 비교한다.

①·②·③·⑤는 옳고 ④는 틀리므로 정답은 ④이다. “모든 균형이 보존된다”는 문구를 (U,L)이라는 반례로 확인하면 된다.

1. 남아 있는 전략끼리 비교한다

보수의 첫째 수는 경기자 1, 둘째 수는 경기자 2의 보수이다. 경기자 1은 같은 열에서, 경기자 2는 같은 행에서 자기 보수를 비교한다.

엄격열등전략은 상대가 어떤 남은 전략을 택해도 다른 전략보다 보수가 작은 전략이다. 하나를 삭제한 뒤에는 줄어든 게임에서 다시 비교한다.

2. 첫 단계: C를 삭제한다

경기자 1이 C 대신 A를 택하면 상대가 X, Y, Z 중 무엇을 택해도 보수가 커진다. 따라서 C는 A에 의해 엄격하게 지배되어 삭제할 수 있다.

B도 C를 엄격하게 지배한다. 이 강의에서는 A와 C를 비교하여 C를 먼저 지운다. 원게임에서 A와 B 사이에는 엄격우월관계가 없다.

3. C가 사라지면 Z를 삭제한다

남은 A행에서 경기자 2의 보수는 Y가 5, Z가 4이다. B행에서는 Y가 6, Z가 3이다. 두 행 모두 Y가 더 좋으므로 Z를 삭제한다.

원게임의 C행에서는 Z의 보수 8이 Y의 보수 1보다 컸다. C행이 사라지면서 이 반례도 사라졌다. 앞 단계의 삭제가 새로운 엄격열등관계를 만든 것이다.

4. Z가 사라지면 A를 삭제한다

남은 X열에서 경기자 1의 보수는 B가 5, A가 2이다. Y열에서는 B가 7, A가 4이다. 두 열 모두 B가 더 좋으므로 A를 삭제한다.

원게임의 Z열에서는 A의 보수 5가 B의 보수 3보다 컸다. Z열을 삭제한 뒤에는 그 역전 관계를 비교에 포함하지 않는다.

5. B만 남으면 X를 삭제한다

경기자 1에게 B만 남았으므로 경기자 2는 B행의 자기 보수만 비교한다. Y의 보수 6이 X의 보수 2보다 크므로 X를 삭제한다.

삭제 순서는 C, Z, A, X이다. 최종적으로 경기자 1의 B와 경기자 2의 Y가 남으며 보수는 (7,6)이다.

6. 원게임의 최적반응으로 검산

원게임의 각 열에서 첫째 보수의 최댓값을, 각 행에서 둘째 보수의 최댓값을 찾는다. 두 사람의 최적반응이 만나는 칸은 (B,Y) 하나이다.

(B,Y)에서 경기자 1이 A나 C로 바꾸면 보수가 7에서 4나 2로 줄어든다. 경기자 2가 X나 Z로 바꾸면 6에서 2나 3으로 줄어든다.

혼자 전략을 바꾸어 이익을 얻을 수 없으므로 (B,Y)는 내시균형이다. 원게임의 유일한 순수전략 균형이라는 결론과 반복삭제의 결과가 일치한다.

7. 삭제할 때마다 다시 판정한다

처음부터 엄격하게 열등했던 전략만 삭제하는 것이 아니다. 매 단계 남아 있는 상대 전략 전체에서 자기 보수가 더 작은지 다시 판정한다.

엄격열등전략은 모든 남은 경우에서 더 나쁘므로 어떤 상대 혼합에도 최적반응이 될 수 없다. 이 문제에서는 반복삭제로 두 사람에게 하나씩만 남아 혼합을 허용해도 (B,Y)가 유일한 균형이다.

①·③·④·⑤는 옳고 ②는 틀리므로 정답은 ②이다. 앞 단계에서 전략을 삭제한 뒤 새롭게 생기는 엄격열등관계를 인정해야 한다.

1. 순수전략에서는 서로 엇갈린다

경기자 1은 L에 A, R에 B로 대응한다. 경기자 2는 A에 R, B에 L로 대응한다. 두 사람의 최적반응이 만나는 칸이 없으므로 순수전략 내시균형은 없다.

보수의 첫째 수는 경기자 1, 둘째 수는 경기자 2의 보수이다. 같은 열의 첫째 수와 같은 행의 둘째 수를 각각 비교하자.

2. 내 확률은 상대를 무차별하게

p는 경기자 1의 확률, q는 경기자 2의 확률이다. 경기자 1의 A·B 기대보수를 가중평균할 때에는 상대가 L·R을 택할 확률 q와 1−q를 쓴다.

완전혼합균형에서는 두 전략 모두 양의 확률로 선택한다. 한쪽 보수가 더 높다면 그 전략만 택할 것이므로, 실제로 섞는 두 전략의 기대보수가 같아야 한다.

경기자 1의 무차별조건으로 상대의 q를 구하고, 경기자 2의 무차별조건으로 상대의 p를 구한다. 확률의 주인과 식의 주인을 구분하자.

3. 경기자 1의 무차별에서 q를

A를 택할 때 기대보수는 3q+0×(1−q)=3q이다. B를 택할 때는 1q+2×(1−q)=2−q이다. 두 직선은 q=1/2에서 만난다.

q<1/2이면 B, q>1/2이면 A가 더 좋다. 두 전략을 모두 쓸 수 있게 만드는 상대의 L 선택확률은 q=1/2이다.

4. 경기자 2의 무차별에서 p를

L을 택할 때 기대보수는 1p+3×(1−p)=3−2p이다. R을 택할 때는 4p+2×(1−p)=2+2p이다. 두 직선은 p=1/4에서 만난다.

p<1/4이면 L, p>1/4이면 R이 더 좋다. 두 전략을 모두 쓸 수 있게 만드는 상대의 A 선택확률은 p=1/4이다.

5. 균형확률을 보수에 대입한다

p와 q가 모두 0과 1 사이이므로 두 사람 모두 완전혼합한다. 경기자 1은 A·B 어느 쪽을 골라도 3/2, 경기자 2는 L·R 어느 쪽을 골라도 5/2를 받는다.

자기 두 순수전략의 기대보수가 같으므로 그 사이를 어떤 비율로 섞어도 같은 기대보수를 받는다. 균형 기대보수를 구할 때 자기 혼합확률을 한 번 더 곱할 필요는 없다.

단, 상대의 균형확률을 고정했을 때의 이야기다. 두 사람의 확률이 동시에 균형을 이루려면 p=1/4와 q=1/2를 함께 만족해야 한다.

6. 같은 상수를 더하면 상쇄된다

경기자 1의 네 보수 모두에 같은 상수 k를 더하면 두 기대보수 모두 k만큼 증가한다. 무차별식 양변에서 k가 상쇄되므로 q는 그대로이다.

경기자 2의 보수는 바뀌지 않았으므로 그 무차별식에서 구하는 p도 그대로이다. 확률은 불변이지만 경기자 1의 균형 기대보수는 k만큼 변한다.

7. 식의 주인과 확률의 주인

혼합확률의 정의를 먼저 쓰고, 각 경기자의 두 순수전략 기대보수를 상대 확률로 계산한다. 두 식을 같게 놓아 얻는 값은 상대의 혼합확률이다.

이 게임에서는 순수균형이 없고, 한 사람만 섞는 균형도 없다. 상대가 순수전략을 쓰면 자기 최적반응이 항상 하나이기 때문이다. 따라서 구한 완전혼합균형이 유일하다.

①·②·④·⑤는 옳고 ③은 틀리므로 정답은 ③이다. “내 무차별조건으로 내 확률을 구한다”는 연결을 바로잡자.

01 · 경쟁과 수요독점의 결정식

경쟁시장은 노동공급과 MRP의 교점에서 결정된다.

수요독점기업은 MRP=MFC로 고용부터 정한 뒤, 노동공급곡선에서 지급임금을 읽는다.

02 · 고용을 정한 뒤 임금을 읽는다

노동자를 더 고용하려면 기존 노동자에게도 오른 임금을 지급한다. 그래서 추가 고용비용인 MFC는 지급임금 w보다 높다.

MRP와 MFC의 교점은 (15,40)이다. 40을 임금으로 읽으면 안 된다. L=15에서 공급곡선으로 내려오면 지급임금은 25다.

수요독점의 고용 15와 임금 25는 경쟁시장의 20과 30보다 작다.

03 · 최저임금은 비용의 모양을 바꾼다

25보다 높은 최저임금을 생각하자. 그 임금에서 일하려는 노동자 수가 Ls다. 그 수까지는 임금을 올리지 않고 고용할 수 있어 MFC가 수평이다.

Ls를 넘겨 고용하려면 공급곡선을 따라 모두의 임금을 올려야 한다. 이때 MFC는 위로 뛴 뒤 원래 곡선을 따른다.

뛰는 점에서는 한쪽 미분만 존재한다. MRP가 양쪽 MFC 사이에 있으면 Ls가 최적 고용이다.

다음 그림의 회색 사선은 규제 전 MFC, 빈 원·점선은 비용이 뛰는 지점이다.

04 · 최저임금 30: 고용은 20

노동자 20명까지는 한 명을 더 고용하는 비용이 30이다. MRP가 30보다 높은 동안 고용을 늘린다.

L=20에서 MRP=30이며, 그 이후 MFC는 50부터 시작한다. 더 고용할 유인이 없어 고용은 20, 임금은 30이다.

경쟁시장의 고용을 회복한다. 최저임금 때문에 고용이 반드시 감소하는 것은 아니다.

05 · 최저임금 34: 고용은 18

일하려는 노동자는 24명이지만 기업은 그 모두를 고용할 필요가 없다. 수평 MFC=34와 MRP가 만나는 고용은 18이다.

18<24이므로 수평 구간 안의 해가 맞다. 노동공급 24에서 실제 고용 18을 빼면 초과공급은 6이다.

고용 18은 최저임금 30일 때의 20보다 작지만, 무규제 수요독점의 15보다 여전히 크다.

06 · 어느 수준부터 고용이 더 작아질까?

최저임금이 25 이하이면 비구속적이어서 임금 25·고용 15가 유지된다.

25보다 높고 40보다 낮으면 고용은 15보다 크다. 40에서는 같고, 40보다 높아야 15보다 작아진다.

25와 30 사이에서는 고용이 늘고, 30을 넘으면 줄어든다. 감소를 말할 때 어느 임금 수준과 비교하는지 확인한다.

07 · 기준을 구분하면 선지가 정리된다

경쟁은 MRP=노동공급, 무규제 수요독점은 MRP=MFC로 고용을 정한다. 수요독점 임금은 공급곡선에서 읽는다.

최저임금 도입 후에는 수평 구간과 비용이 뛰는 점을 먼저 확인한다. 계산한 고용이 해당 구간에 속하는지도 검산한다.

①·②·③·④는 옳다. 25보다 높은 모든 최저임금이 고용을 15 미만으로 만든다는 ⑤는 틀리므로 정답은 ⑤다.

01 · 부존을 가격으로 평가하면 소득이 된다

소비자는 처음 가진 재화를 팔아 얻을 수 있는 가치만큼 소비할 수 있다. 그러므로 초기부존의 수량과 소득을 구분한다.

X의 가격이 바뀌면 X를 많이 가진 소비자1의 소득이 더 크게 변한다. 부존가치를 가격과 무관한 12로 놓고 출발하면 안 된다.

p=1을 대입한 뒤에야 두 소비자의 소득이 모두 12가 된다.

02 · 같은 효용함수: 지출을 반씩 나눈다

양의 가격과 소득에서 최적수요는 내부해다. 무차별곡선과 예산선이 접하면 MRS가 가격비 p와 같다.

y_i=px_i이므로 X에 쓴 금액과 Y에 쓴 금액이 같다. 총지출을 반씩 나누면 각 재화의 수요가 나온다.

수량을 무조건 반으로 나누는 것이 아니다. X 수요는 지출 m_i/2를 다시 X 가격 p로 나눈다.

03 · 총수요와 총부존을 맞춰 가격을 정한다

두 사람의 X 수요를 합쳐 총부존 12와 같게 놓으면 p=1이다. 같은 가격에서 Y 시장도 청산됨을 확인한다.

경쟁균형은 각자 최적으로 선택하면서 두 시장의 수요와 공급이 맞는 상태다. 단순히 총량만 맞춘 배분과 구분한다.

이 문항의 경쟁균형 상대가격은 p=1이다. 이 가격의 유일성과 파레토효율배분의 유일성은 서로 다른 주장이다.

04 · 순거래는 최종소비에서 초기부존을 뺀다

소비자1은 X 4단위를 내주고 Y 4단위를 받는다. 소비자2의 거래는 정확히 반대다. 음수는 순판매, 양수는 순구매다.

p=1에서 각자의 순거래 가치는 0이다. 거래 후 두 소비자의 효용은 모두 20에서 36으로 높아진다.

따라서 초기부존은 파레토효율적이지 않으며, 경쟁균형으로의 이동은 두 사람 모두에게 이익이다.

05 · 효율조건은 계약곡선 전체를 만든다

내부배분이 효율적이려면 두 소비자의 MRS가 같아야 한다. 다르면 서로 이익이 되는 교환이 남는다.

여기서는 같은 선호와 같은 총부존 때문에 내부 계약곡선이 대각선 y1=x1이다. 경쟁균형 (6,6)은 그 위의 한 점이다.

이 효용함수에서는 이 내부조건을 만족하는 배분이 실제로 효율적이다. 한 사람의 두 재화 비중을 늘리려면 다른 사람의 효용을 낮춰야 한다.

06 · 상자의 한 점은 두 사람의 소비를 함께 뜻한다

왼쪽 아래 원점에서 소비자1을 읽고, 오른쪽 위 원점에서 소비자2를 거꾸로 읽는다. E는 초기부존 (10,2),(2,10)이다.

A는 예산선 x1+y1=12와 계약곡선의 교점이다. B도 계약곡선 위의 효율배분이지만 초기부존에서의 경쟁균형은 아니다.

B에서 효용은 16과 64이다. 소비자1은 초기효용 20보다 낮아지므로, 효율배분이라고 항상 초기부존에서의 파레토개선은 아니다.

07 · 제1후생정리는 효율성을 말한다

이 가격수용적 순수교환경제에서는 선호가 국소적으로 비포화되어 있으므로 제1후생정리를 적용할 수 있다. 경쟁균형배분 A는 파레토효율적이다.

정리는 효율배분이 하나뿐이라거나 분배가 공평하다고 말하지 않는다. A가 효율적이라는 사실만으로 B의 효율성이 배제되지 않는다.

① 부존가치와 수요, ② 시장청산, ③ 순거래, ④ 내부 효율조건은 모두 옳다. 유일한 효율배분이라고 주장한 ⑤가 틀리므로 정답은 ⑤다.

01 · 상자와 곡선은 서로 다른 조건이 정한다

상자의 가로·세로 길이는 두 재화의 총부존이다. 초기부존은 그 상자 안의 출발점이다. 두 조건을 구분한다.

소비자2는 효용함수에서 X의 지수가 2다. Q047처럼 두 사람의 선호가 같지 않으므로 계약곡선을 대각선으로 놓고 시작하면 안 된다.

총부존이 같더라도 서로 원하는 교환비율이 달라지면 효율적인 배분의 위치가 달라진다.

02 · 지수 2는 한계대체율에 남는다

MRS_XY는 X 한 단위를 더 얻기 위해 포기할 수 있는 Y의 양이다. 두 재화를 모두 소비하는 내부배분에서 계산한다.

소비자2는 X로 미분할 때 지수 2가 계수로 내려온다. 이를 빠뜨리면 서로 다른 선호를 같은 선호로 처리하게 된다.

효용함수의 X 지수만 보고 MRS를 2라고 쓰는 것도 틀리다. 실제 MRS는 소비량 비율 y2/x2에도 달려 있다.

03 · 다른 사람의 소비를 총량에서 빼서 쓴다

내부 파레토효율 조건은 두 사람의 MRS가 같다는 것이다. 먼저 소비자2의 소비를 총부존에서 소비자1의 소비를 뺀 값으로 바꾼다.

분모를 곱한 뒤 y1이 있는 항을 한쪽으로 모은다. 양변의 -x1y1과 -2x1y1은 계수가 다르므로 모두 지워지지 않는다.

이 선호에서 효율배분을 연결한 내부 계약곡선은 대각선보다 위쪽을 지나는 우상향곡선이다.

04 · x1이 6인 효율배분은 (6,8)이다

A는 소비자1에게 (6,8), 소비자2에게 남은 (6,4)를 배분한 점이다. 두 사람의 MRS가 모두 4/3이므로 내부 효율조건을 만족한다.

초기부존의 효용은 (36,216)이다. A에서는 소비자1이 좋아지고 소비자2는 나빠진다.

따라서 A는 효율적이지만 초기부존에서의 파레토개선은 아니다. 효율성은 분배가 누구에게 유리한지까지 정하지 않는다.

05 · 초기부존에서는 서로 이익인 교환이 남는다

소비자1이 X 1단위를 내주고 소비자2에게서 Y 1.5단위를 받는 교환을 해 보자. 재화의 총량은 그대로다.

교환 후 두 사람의 효용이 모두 증가한다. 이 구체적인 파레토개선이 가능하므로 초기부존 E는 파레토효율적이지 않다.

다만 T에서도 MRS는 서로 다르다. 두 사람 모두 좋아졌다는 것만으로 모든 교환이익을 다 얻었다고 결론 내리면 안 된다.

06 · 같은 상자 안에서도 계약곡선이 바뀐다

청록 실선은 현재 계약곡선이고, 파랑 점선은 두 사람 모두 U=xy였던 Q047의 계약곡선이다. 총부존은 둘 다 12와 12다.

빨간 E=(6,6)은 현재 곡선 밖에 있고, 청록 A=(6,8)은 현재 곡선 위에 있다. 회색 무차별곡선 두 개는 A에서 같은 기울기로 접한다.

A에서 소비자2의 소비는 오른쪽 위 원점에서 읽는 (6,4)다. 상자 속 한 점은 두 사람의 소비를 함께 나타낸다.

07 · 총부존·선호·초기부존을 분리해 판단한다

① 두 MRS 식은 옳다. ② 총량제약을 대입한 효율조건도 옳다. ③ 계약곡선의 식과 x1=6일 때 y1=8인 계산도 옳다.

④ 초기부존에서는 MRS가 1과 2로 다르므로 비효율적이다. ⑤ 선호가 바뀌어도 계약곡선이 같다는 주장이 틀리므로 정답은 ⑤다.

총부존은 상자 크기를, 선호는 주어진 상자 안의 계약곡선을 정한다. 총부존과 선호를 고정하고 초기부존만 바꾸면 계약곡선 자체는 변하지 않는다.