Q017 / DNA128

열등재와 기펜재

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CATCH DNA128 · Q017

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복습 질문 1 / 3

사례 A: 가격4→2, x₀=10, xH=14, x₁=12. 세 효과와 열등·기펜 여부는?

내 생각 · 선택 사항

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대체효과는 10→14(+4), 소득효과는 14→12(−2), 가격효과(총효과)는 10→12(+2)이다. 가격하락으로 실질구매력이 높아졌을 때 소득효과만 보면 X 수요가 감소하므로 해당 구간에서 열등재다. 실제 총수요는 10→12로 증가하며 가격과 반대 방향이므로 기펜재는 아니다.

복습 질문 2 / 3

사례 B: 가격4→6, x₀=10, xH=8, x₁=12. 기펜재라면 보상수요도 증가하는가?

내 생각 · 선택 사항

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아니다. 보상수요는 10→8로 감소하여 대체효과는 −2이다. 소득효과는 8→12(+4)로 이를 압도하며, 가격효과(총효과)는 10→12(+2)이다. 가격상승으로 실질구매력이 낮아졌을 때 소득효과는 양이므로 열등재다. 가격과 총수요가 함께 증가하므로 해당 구간에서 기펜재다.

$SE=-2,\quad IE=+4,\quad PE=+2$

복습 질문 3 / 3

B에서 X 소비가10→12로 증가했는데도 효용이 낮아질 수 있는 이유는?

내 생각 · 선택 사항

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m은 명목소득, y₁은 가격변화 후 Y재 소비량이다. 새 예산식은 6x₁+pYy₁=m이고 x₁=12이다. 같은 묶음을 옛 가격으로 사면 4x₁+pYy₁=m−(6−4)×12=m−24이므로 24가 남아 더 소비할 수 있다. 24는 지출 차이이며 효용 차이가 아니다. 명목소득과 Y재 가격이 고정된 상태에서 예산집합이 축소되므로, 주어진 조건에서는 X 소비가 증가해도 효용은 낮다.

$4x_1+p_Yy_1=m-(6-4)\times12=m-24$

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Q018 / DNA128

완전대체재의 구석해

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CATCH DNA128 · Q018

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복습 질문 1 / 3

A와 R은 X재 가격이 5로 같다. 왜 최적점이 다르며, R은 접선조건을 만족하는 내부해인가?

내 생각 · 선택 사항

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A는 X의 1원당 효용이 Y보다 커서 (24,0)이 최적이고 효용은72다. R에서는 X를16까지만 살 수 있으므로 남은40으로 Y를10 산다. (16,10)은 두 소비량이 양수지만 구매상한의 경계해다. MRS와 가격비는 아래 수식처럼 다르다. 상한을 해제하면 (24,0)으로 이동하며 효용은68에서72로4만큼 증가한다.

$\frac{3}{2}>\frac{5}{4},\qquad68\to72$

복습 질문 2 / 3

B에서는 MRS와 가격비가 같다. 유일한 접점이 정해지는가? X재 수요의 범위와 효용은?

내 생각 · 선택 사항

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유일한 접점이 정해지지 않는다. 예산선6x+4y=120과 효용60의 직선 무차별곡선이 일치한다. 예산선 위의 모든 점이 최적이며 X 수요는[0,20]의 대응이다. 기울기 일치가 최적점의 유일성을 보장하지 않는다.

$3x+2\left(30-\frac{3}{2}x\right)=60$

복습 질문 3 / 3

구매제약 없이 X재 가격이5에서8로 오르면, X 수요는24에서0까지 매끄럽고 연속적으로 감소하는가?

내 생각 · 선택 사항

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아니다. 가격이6보다 낮으면 X 수요는 소득120을 X재 가격으로 나눈 값이며, 6에 아래쪽에서 접근할 때20에 가까워진다. 가격6에서는[0,20]의 모든 수량이 최적이다. 6을 넘으면 X 수요는0이다. 좌우 극한이20과0으로 달라 하나의 매끄러운 연속 수요함수로 연결할 수 없다. C의 최적점(0,30)은 맞지만 그로부터 연속감소를 결론 내릴 수 없다.

$\lim_{p_x\to6^-}x^d=20,\qquad\lim_{p_x\to6^+}x^d=0$

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Q019 / DNA128

완전보완재 수요

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CATCH DNA128 · Q019

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복습 질문 1 / 3

X 가격이6에서12로 올랐을 때, A의 효용을 유지하는 C의 최소소득과 소비점은? 대체효과와 소득효과는 각각 얼마인가?

내 생각 · 선택 사항

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A의 효용48을 유지하려면 X24개와 Y16개가 필요하다. B의 가격으로 사면384가 들며, 기존 소득240보다144를 더 보상해야 한다. C의 소비점은 A와 같은(24,16)이므로 Hicks 대체효과는(0,0)이다. 보상소득384에서240으로 돌아오는 C→B의 소득효과는(-9,-6)이고, 전체 가격효과도 같다.

복습 질문 2 / 3

완전보완재의 대체효과가0이면 X 수요의 자기 가격탄력성도0인가? 기준상태 A에서 직접 확인해 보자.

내 생각 · 선택 사항

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아니다. 효용을 고정한 보상수요는 가격이 바뀌어도 같은 묶음을 사지만, 명목소득을 고정한 Marshall 수요는 묶음 가격이 오르면 줄어든다. 따라서 자기 가격탄력성은 음수이며 A에서는 아래와 같다. 고정비율과 고정수량을 혼동하지 않는다.

$\varepsilon_{xx}=-\frac{3p_x}{3p_x+2p_y},\qquad\varepsilon_{xx}^{A}=-\frac{3}{5}$

복습 질문 3 / 3

A에서 Y 가격만6에서3으로 내려가면 X 수요는 어떻게 되는가? ICC와 X·Y 가격에 따른 PCC는 어느 경로 위에 놓이는가?

내 생각 · 선택 사항

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D의 최적소비는(30,20)이므로 X도24에서30으로 늘어난다. 다른 재화의 가격이 내려갈 때 자기 수요도 늘어나는 총보완재적 움직임이다. 모든 양의 가격과 소득에서 최적점은2x=3y를 만족하므로 ICC와 두 PCC 모두 아래 고정비율 반직선 위에 놓인다.

$(24,16)\to(30,20),\qquad y=\frac{2}{3}x$

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Q020 / DNA128

굴절형 효용의 경계

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CATCH DNA128 · Q020

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복습 질문 1 / 3

u=min{2x+y,x+3y}에서 굴절선과 양쪽 MRS는? 굴절점이 유일한 최적점이 되는 가격비 조건은?

내 생각 · 선택 사항

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두 식을 같게 놓으면 x=2y다. x<2y에서는 작은 식2x+y가 효용을 결정하여 MRS는2이고, x>2y에서는 x+3y가 효용을 결정하여 MRS는3분의 1이다. 가격비가 두 경계 사이에 엄격하게 놓일 때 굴절점이 유일하다. 경계와 같으면 최적점 구간이 생기므로 등호를 포함하지 않는다.

$\frac{1}{3}<\frac{p_x}{p_y}<2$

복습 질문 2 / 3

소득90, Y 가격6에서 X 가격이 B=2, D=12일 때 각각 어떤 구간이 최적인가? D의 굴절점은 유일한가?

내 생각 · 선택 사항

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B의 가격비는3분의 1이다. 굴절점(18,9)부터 X축 절편(45,0)까지 모두 효용45를 준다. D의 가격비는2이므로 Y축 절편(0,15)부터 굴절점(6,3)까지 모두 효용15를 준다. 두 경우 모두 끝점을 포함한다. 따라서 D에서 굴절점만이 유일하다는 판단은 틀린다.

$B:\ (18,9)\leftrightarrow(45,0)$ $D:\ (0,15)\leftrightarrow(6,3)$

복습 질문 3 / 3

소득90·Y 가격6에서 X 가격이1인 C의 최적점은? A의 두 가격6을 유지하고 소득을180으로 늘린 E의 최적점과 ICC는?

내 생각 · 선택 사항

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C의 가격비는 하한보다 작다. X만90개 소비하는(90,0)이 유일하고 효용은90이다. A의 가격비1은 두 경계 사이이므로 소득이 바뀌어도 굴절점에서 최적소비한다. 소득90의 A(10,5),효용25에서 소득180의 E(20,10),효용50으로 두 배가 된다. 따라서 A 가격의 ICC는 x=2y다.

$ICC:\ x=2y$

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Q021 / DNA128

준선형효용과 저소득

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CATCH DNA128 · Q021

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복습 질문 1 / 3

효용이4√x+y이고 Y 가격이1일 때 X의 내부해 목표량은? 이 목표량으로 내부해가 성립하려면 소득이 어떤 조건을 만족해야 하는가?

내 생각 · 선택 사항

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X의 한계효용을 가격과 같게 놓아 목표량을 구한다. 목표량을 산 뒤에도 Y를 양수로 소비할 소득이 남아야 내부해다. 아래 조건의 등호에서는 Y가0인 경계해이므로 엄밀한 내부해와 구분한다.

$x^{I}=\frac{4}{p_x^2}$ $m>\frac{4}{p_x}$

복습 질문 2 / 3

A는 X 가격1·소득20, B는 같은 가격·소득30이다. X 가격2인 C(소득20)와 D(소득60)에서는 소비가 어떻게 바뀌는가? 내부해의 X 소득탄력성은?

내 생각 · 선택 사항

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A(4,16)에서 B(4,26)으로, C(1,18)에서 D(1,58)으로 바뀐다. 각 비교에서 가격은 같고 네 상태 모두 내부해이므로 X는 그대로이며 추가소득은 전부 Y에 지출한다. 내부해 구간의 X 소득탄력성은0이다.

$\Delta_{AB}(x,y)=(0,10)$ $\Delta_{CD}(x,y)=(0,40)$ $\eta_{x,m}=0$

복습 질문 3 / 3

준선형효용이면 매우 낮은 소득에서도 X의 소득효과는0인가? X 가격1에서 소득이1에서2로 늘어나는 경우로 확인해 보자.

내 생각 · 선택 사항

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아니다. 소득1과2는 모두 내부해 기준4보다 작으므로 Y를 소비하지 않고 소득 전부로 X를 산다. 소비는(1,0)에서(2,0)으로 변해 X도1개 증가한다. 따라서 X 수요가 소득과 무관하다는 결론에는 내부해 조건이 필요하다.

$x^*=\min\!\left\{\frac{4}{p_x^2},\frac{m}{p_x}\right\}$ $(1,0)\to(2,0)$

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Q022 / DNA128

접점·끝점·이상점

교정본 B10R8 확보 · 기존 R3 승인 · B10R8 대조 검수 완료

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CATCH DNA128 · Q022

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복습 질문 1 / 3

A의 효용은 x²+y², 예산선은 x+y=12다. T=(6,6)에서 MRS와 가격비가 같아도 최적점이 아닌 이유는? 최적점 두 개를 연결한 선분도 모두 최적인가?

내 생각 · 선택 사항

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T의 효용은72이고 두 끝점의 효용은 각각144다. T는 예산선 위의 최소점이다. 최적점은(12,0)과(0,12) 두 개뿐이며 그 사이 선분 전체가 최적인 것은 아니다.

복습 질문 2 / 3

A의 소득은12, Y 가격은1이다. X 가격이1보다 낮을 때 X 수요와 부호를 포함한 가격탄력성은? 가격이 정확히1일 때도 같은 단일 수요식을 적용할 수 있는가?

내 생각 · 선택 사항

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X 가격이1보다 낮으면 소득 전부로 X를 사므로 X 수요는 소득12를 X 가격으로 나눈 값이고 가격탄력성은-1이다. 가격이1이면 X 수요는0 또는12의 두 값이므로 같은 단일 수요식을 그대로 적용할 수 없다.

$0<p_x<1:\ x=\frac{12}{p_x}$ $\varepsilon_{x,p_x}=-1$ $p_x=1:\ x\in\{0,12\}$

복습 질문 3 / 3

B의 효용은 -(x-8)²-(y-8)²이다. 두 가격이1이고 소득이20인 B2가 소득을 남기는 이유는? X 가격2·Y 가격1·소득19인 B3의 최적점과 MRS는?

내 생각 · 선택 사항

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B2는 이상점(8,8)에16을 지출하여 최대 효용0을 얻고4를 남긴다. 이상점에서는 두 한계효용이0이므로 MRS는 정의되지 않는다. B3는 예산선과 MRS=2를 함께 풀면(6,7), 효용-5이며 한계효용(4,2)의 비가2다.

$B2:(8,8),\quad20-16=4$

$MRS=\frac{4}{2}=2$

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Q023 / DNA128

현금·현물·가격보조

교정본 B10R8 확보 · 수정 검수 완료 · 이번 수정 승인 대기

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강의노트 원형 보기 · R3 교정본

Q023 강의노트 원형 1쪽. 같은 내용의 텍스트 설명이 아래에 있습니다.

Q023 강의노트 원형 2쪽. 같은 내용의 텍스트 설명이 아래에 있습니다.

1 / 7 · B10R8

CATCH · 독립적인 세 정책과 원문의 조건

u=x의 1/3승 곱하기 y의 2/3승 소득180, x가격2, y가격1

정부 실제지출은 각 정책에서 60이다. 현금은 60 지급, 현물은 X재 30단위 지급, 가격보조는 단위당 s를 지급한다. 세 정책은 각각 독립적으로 비교한다.

지급받은 X는 재판매·현금화할 수 없고, 소비하지 않고 버리는 것은 가능하다. 이는 교정본에 명시된 조건이다.

2 / 7 · B10R8

MATH · 현금과 현물의 최적점은 같다

부담가격을 q_x, 사용 가능 소득을 M이라 하면 코브–더글러스 수요는 x=M/(3q_x), y=2M/(3p_y)다.

현금: M=240이므로 (x,y)=(40,160).

현물: 받은 30단위에 a단위를 더 사면 2a+y=180, x=30+a이다. 현금 때의 최적점에서 a=10≥0이므로 같은 최적점 (40,160)을 선택한다. ㄴ은 옳다.

3 / 7 · B10R8

GRAPH · 자유처분과 재판매는 다르다

현물: 0\leqx\leq30이면 0\leqy\leq180 현물: 30\leqx\leq120이면 0\leqy\leq240-2x 현금: 2x+y\leq240, x와 y는 0 이상

현물을 버릴 수 있어 x<30도 가능하지만, 이를 팔아 Y를 더 살 수는 없다. R=(20,200)은 현금으로는 가능하고 현물로는 불가능하다. 최적점이 같아도 예산집합은 다르다. ㄷ은 옳다.

현물의 위쪽 경계는 (0,180)–(30,180)–(120,0). 현금 경계는 (0,240)–(120,0). 공통 최적점 C=(40,160), 현금에만 가능한 R=(20,200).

4 / 7 · B10R8

MATH · 실제 정부지출로 s를 역산한다

소비자 부담가격=2-s, x=60/(2-s) 정부지출 sx=60, 60s/(2-s)=60 s=1, 최적점(60,120)

가격보조 후 소비자 가격은 1, 예산선은 x+y=180이다. 최적점은 (60,120)이고 정부지출은 1×60=60이다. ㄱ은 옳다.

5 / 7 · B10R8

COMPARE · 수량·효용·MRS를 구분한다

정책	X	Y	MRS
현금	40	160	2
현물	40	160	2
가격보조	60	120	1

MRS=MU_x/MU_y=y/(2x). 최적점에서는 소비자 부담가격비와 같다.

효용의 세제곱=xy² 현금\cdot현물:40\times160²=1,024,000 가격보조:60\times120²=864,000

따라서 효용은 현금=현물>가격보조다. X를 더 많이 산다는 사실만으로 효용이 더 높다고 할 수 없다.

6 / 7 · B10R8

GRAPH · 가격보조는 상대가격도 바꾼다

현금 예산선의 기울기는 −2, 가격보조 예산선은 −1이다. 교점 S=(60,120)은 가격보조의 최적점이며 현금으로도 가능하다. 현금의 최적점 C=(40,160)은 S보다 효용이 높다.

현금 경계 2x+y=240와 가격보조 경계 x+y=180을 비교한다. 두 정책은 정부지출이 같지만 기울기와 최적점이 다르다.

7 / 7 · B10R8

SOLUTION · 원문 조건으로 선지를 판정한다

ㄱ·ㄴ·ㄷ은 옳다. 가격보조의 효용은 현금·현물보다 낮으므로 ㄹ은 틀리고, 가격보조 때 MRS는 1이므로 ㅁ도 틀리다.

현물을 버릴 수 있다는 조건을 재판매 가능으로 바꾸어 읽지 않는다.

정답 ④ · ㄱ·ㄴ·ㄷ

기준: DNA128 인쇄소용 내지 B10R8 · 원문 12쪽 / 해설 88쪽. 이 파일은 학생용 강의·복습 노트입니다.

CATCH DNA128 · Q023

현금·현물·가격보조

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복습 질문 1 / 3

소득180, X 가격2, Y 가격1이고 X의 지출비중은3분의1이다. 현금60과 재판매 불가인 X재30단위 지급의 최적소비는? 현물에서는 X를 몇 단위 더 사는가?

내 생각 · 선택 사항

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현금과 현물 모두(40,160)을 선택한다. 현물은 받은30단위에10단위를 더 산다. 현물의 수령량이 현금보조 때 원하는 X 수량40보다 적어 같은 최적점에 도달한다.

복습 질문 2 / 3

X의 원래 가격2, 소득180에서 수요는 60을 소비자 부담가격으로 나눈 값이다. 단위당 보조금 s와 정부 실제지출 sx=60을 함께 만족시키는 s, 최적소비, MRS는?

내 생각 · 선택 사항

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소비자 가격은2−s다. 수요식과 sx=60을 함께 풀면 s=1이므로 소비자 가격1, 최적소비(60,120), MRS1이다. MRS는 보조 후 소비자 부담가격비와 같다.

$\frac{60s}{2-s}=60$ $s=1,\quad(x,y)=(60,120)$ $MRS=\frac{120}{2\cdot60}=1$

복습 질문 3 / 3

현금과 현물의 최적점이 같으면 예산집합 전체도 같은가? 현물을 같은 가격으로 자유롭게 재판매할 수 있다면 결론은 어떻게 달라지는가?

내 생각 · 선택 사항

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원문은 재판매·현금화 불가, 자유처분 가능이다. (20,200)은 현금으로 가능하지만 현물에서는 Y에 쓸 돈이 최대 180이어서 불가능하다. 현물을 버릴 수 있어도 팔 수는 없으므로 예산집합은 다르다. 조건을 바꾸어 같은 가격에 자유로운 재판매를 허용한다면 현물을 현금 60으로 바꿀 수 있어 예산집합도 같아진다. 이 마지막 설명은 원문과 다른 조건을 가정한 비교다. 원문의 정답은 ④이다.

$2\cdot20+200=240$

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Q024 / DNA128

공정보험과 투자

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CATCH DNA128 · Q024

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복습 질문 1 / 3

두 상태가 같은 확률이고 효용이 ln M이면 무엇을 최대화해 최적 투자량을 구할 수 있는가? A에서 H자산은100+x, L자산은100에서 x의 절반을 뺀 값일 때 답은?

내 생각 · 선택 사항

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기대효용은 최종자산 곱의 로그에 절반을 곱한 값이므로 자산의 곱을 최대화하면 된다. A의 곱은 음의 이차항을 가진 이차식이며 도함수50−x가0인 투자량50이 최적이다. 최종자산은(150,75)다.

$EU=\frac{1}{2}\ln(M_HM_L)$ $F_A^{\prime}=50-x=0$

복습 질문 2 / 3

B에서 위험자산 투자량이 x일 때 보험료를 낸 뒤 남는 무위험자산은? 투자 한도80이 최적점이 되는 이유는?

내 생각 · 선택 사항

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무위험자산 잔액은 초기자산100에서 투자금x와 보험료x의4분의1을 뺀 값이다. 최종자산은 H에서100에 x의4분의3을 더한 값, L에서100에서 x의4분의1을 뺀 값이다. 자산 곱의 도함수는0부터80까지 양수이므로 한도80을 선택한다. 최종자산은(160,80)이다.

$100-x-\frac{x}{4}=100-\frac{5x}{4}$ $F_B^{\prime}=50-\frac{3x}{8}\geq20>0$

복습 질문 3 / 3

A의 최종자산이(150,75), B가(160,80)일 때 공정보험 도입 후 위험프리미엄과 최대 기대효용은 각각 어떻게 달라지는가?

내 생각 · 선택 사항

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두 값 모두 커진다. B의 두 상태 자산은 A의15분의16배이므로 평균자산·확실성등가·위험프리미엄도15분의16배다. 확실성등가가 증가하여 최대 기대효용도 증가한다. 공정보험의 공정성은 같은 투자량에서의 평균자산에 관한 성질이며, 최적 투자량까지 같게 만드는 조건은 아니다.

$\frac{RP_B}{RP_A}=\frac{16}{15}>1$ $EU_B-EU_A=\ln\frac{16}{15}>0$

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